Le calcul des Tz et des Azimuts

RAPPEL
    Le sens reel du mot "Tz" est "Time Zone", c.a.d "Fuseaux Horaires",
    et il y a donc 24 Tz pour 24 fuseaux totalisant 24 heures par jour.

    Comme la terre est une sphere de 360 degres chaque Tz equivaut donc
    aussi a 15 degres d'angle, et comme la circonference de la terre est
     de 40.000 Km chaque Tz equivaut a 1666 Km au niveau de l'equateur,
    egalement pour chaque 15 degres d'angle au niveau de chaque meridien,
    mais aussi pour tout arc de grand cercle dans les calculs d'AZIMUTS.

     On peut donc concevoir une division de 12 Tz dans le sens vertical,
    non pas en termes de fuseaux horaires, mais en termes de distances et
    d'angles, et cela est tres utile en radio-amateurisme pour les azimuts.

En soit ces calculs ne sont pas tres complexe, mais il vous faudra quand
meme manipuler des Sinus et des Cosinus, et il faut donc savoir quand meme
manipuler une bonne calculatrice scientifique, de preference programmable.

Avant de passer aux calculs, gardez en memoire que nous travaillons sur
de tres longues distances (plus de 4 Tz, plus de 7.000 Km) et donc que
nous ne sommes pas a 1000 Km pres, ni a 10 degres pres, ou a 0.5 Tz pres.

Mais si vous reperez bien vos Tz sur une carte du monde assez precise, et
selon le modele ci-dessous, alors vous pourrez faire des calculs a 0.25 Tz
pres, voir meme a 0.1 Tz pres, et pourquoi pas meme au degres pres ...

                         LES BASES DU CALCUL :
                         -------------------

Le nom scientifique de ce calcul est "L'ORTHODROMIE", qui consiste donc
a rechercher un angle de grand cercle pour la plus courte distance entre
deux points distants sur la sphere de notre globe terrestre. Comme nous
l'avons vu le Tz est equivalent a 15 degres d'angle. Dans sa notion de
fuseaux horaires il nous donne directement l'angle au niveau du pole Nord,
et dans sa notion verticale les distances de A et de B avec le pole Nord.

                 Nous avons donc comme base de calcul (en degres) :

- TzA qui est la LATITUDE verticale en Tz du point qui est a l'Ouest.
- TzB qui est la LATITUDE verticale en Tz du point qui est a l'Est.
- Tz est tout simplement le nombre de fuseaux horaire entre A et B.

Il n'y a plus qu'a faire des calculs, sans oublier de multiplier nos Tz
par 15 pour les convertir en degres... ou par 1666 pour en avoir des Km.

Pour tracer les Tz sur votre propre carte du monde il suffit de tracer des lignes tous les 15 degres, et
de les numeroter selon le modele de 1 a 24 dans le sens horizontal, et de 1 a 13 dans le sens vertical.

Les formules sont :

   Arc AB  = ArcCos ((Cos TzA x Cos TzB) + (Sin TzA x Sin TzB x Cos TZ))
 
   Angle A = ArcCos ((Cos TzB - (Cos AB x Cos TzA)) / (Sin AB x Sin TzA))

   Angle B = ArcCos ((Cos TzA - (Cos AB x Cos TzB)) / (Sin AB x Sin TzB))

Utilisables directement avec une bonne petite calculatrice scientifique.
(Pour les exemples nous avons teste avec les "Casio" Fx-180, Fx-8500G et Fx-9750G)


Example No 1 : Mexico with Mauritius
Mexico    is about LATITUDE 4.5 Tz  then  TzA =  4.5 x 15 =  67.5
Mauritius is about LATITUDE 7.5 Tz  then  TzB =  7.5 x 15 = 112.5 
Time Zone is about         10.5 Tz  then  TZ  = 10.5 x 15 = 157.5  

Arc AB  = ArcCos ((Cos TzA x Cos TzB) + (Sin TzA x Sin TzB x Cos  TZ))
------             C  67.5   C 112.5     S  67.5   S 112.5   C 157.5
        = 159 degres length

        (then the distance is 159 x 1666 / 15 = about 17.600 Km)

Angle A = ArcCos ((Cos TzB - (Cos AB x Cos TzA)) / (Sin AB x Sin TzA))
-------              112.5    C  159   C  67.5      S  159   S  67.5
        = 95 degres (direct Azimuth toward East)

Angle B = ArcCos ((Cos TzA - (Cos AB x Cos TzB)) / (Sin AB x Sin TzB))
-------            C  67.5    C  159   C 112.5      S  159   S 112.5
        = 85 degres

        (for West Azimuth you must compute 360 - 85 = 275 degres)  

Example No 2 : France with New Caledonia

France        is about LATITUDE  3 Tz then  TzA =  3 x 15 =  45.0
New Caledonia is about LATITUDE  7 Tz then  TzB =  7 x 15 = 105.0
Time Zone     is about          11 Tz then   TZ = 11 x 15 = 165.0

Arc AB  = ArcCos ((Cos TzA x Cos TzB) + (Sin TzA x Sin TzB x Cos  TZ))
------                  45       105          45       105       165
        = 147 degres length

        (then the distance is 147 x 1666 / 15 = about 16.300 Km)

Angle A = ArcCos ((Cos TzB - (Cos AB x Cos TzA)) / (Sin AB x Sin TzA))
-------                105       147        45         147        45
        = 30 degres (direct Azimuth`toward East)

Angle B = ArcCos ((Cos TzA - (Cos AB x Cos TzB)) / (Sin AB x Sin TzB))
-------                 45       147       105         147       105
        = 20 degres

        (for West Azimuth you must compute 360 - 20 = 340 degres)  

Example No 3 : Brasil with France
Brasil    is about TzA = 6.5 Tz x 15 = 97.5
France    is about TzB = 3   Tz x 15 = 45
Time Zone is about TZ  = 4   Tz x 15 = 60

Arc AB  = ArcCos ((Cos TzA x Cos TzB) + (Sin TzA x Sin TzB x Cos  TZ))
------                97.5        45        97.5        45        60
        = 75 degres length

        (then the distance is 75 x 1666 / 15 = about 8.000 Km)

Angle A = ArcCos ((Cos TzB - (Cos AB x Cos TzA)) / (Sin AB x Sin TzA))
-------                 45        75      97.5          75      97.5
        = 40 degres (direct Azimuth toward East)

Angle B = ArcCos ((Cos TzA - (Cos AB x Cos TzB)) / (Sin AB x Sin TzB))
-------               97.5        75        45          75        45
        = 120 degres

        (for West Azimuth you must compute 360 - 120 = 240 degres)  

Example No 4 : New Caledonia with Mexico
New Caledonia  is about TzA = 7   Tz x 15 = 105
Mexico         is about TzB = 4.5 Tz x 15 = 67.5
Time Zone      is about TZ  = 7   Tz x 15 = 105
 (you compute 24 Tz - 17 Tz = 7 regarding the Tz world map)

Arc AB  = ArcCos ((Cos TzA x Cos TzB) + (Sin TzA x Sin TzB x Cos  TZ))
------                 105      67.5         105      67.5       105
        = 110 degres length

        (then the distance is 110 x 1666 / 15 = about 12.000 Km)

Angle A = ArcCos ((Cos TzB - (Cos AB x Cos TzA)) / (Sin AB x Sin TzA))
-------               67.5       110       105         110       105
        = 70 degres (direct Azimuth toward East)

Angle B = ArcCos ((Cos TzA - (Cos AB x Cos TzB)) / (Sin AB x Sin TzB))
-------                105       110       67.5        110       67.5
        = 100 degres

        (for West Azimuth you must compute 360 - 100 = 260 degres)  


Example No 5 : France with Indien Ocean
France       is TzA = 3   Tz x 15 = 45
Indian Ocean is TzB = 7.5 Tz x 15 = 112.5
Time Zone    is  TZ = 4   Tz x 15 = 60 

Arc AB  = ArcCos ((Cos TzA x Cos TzB) + (Sin TzA x Sin TzB x Cos  TZ))
------                  45     112.5          45     112.5        60
        = 87 degres length

        (then the distance is 87 x 1666 / 15 = about 9.600 Km)

Angle A = ArcCos ((Cos TzB - (Cos AB x Cos TzA)) / (Sin AB x Sin TzA))
-------              112.5        87        45          87        45
        = 125 degres (direct Azimuth toward East)

Angle B = ArcCos ((Cos TzA - (Cos AB x Cos TzB)) / (Sin AB x Sin TzB))
-------                 45        87     112.5          87     112.5
        = 40 degres

        (for West Azimuth you must compute 360 - 40 = 320 degres)  

Example No 6 : France with SE Australia
France       is TzA = 3   Tz x 15 = 45
SE Australia is TzB = 8.5 Tz x 15 = 127.5
Time Zone    is  TZ = 8.5 Tz x 15 = 127.5

Arc AB  = ArcCos ((Cos TzA x Cos TzB) + (Sin TzA x Sin TzB x Cos  TZ))
------                  45     127.5          45     127.5     127.5
        = 140 degres length

        (then the distance is 140 x 1666 / 15 = about 15.500 Km)

Angle B = ArcCos ((Cos TzB - (Cos AB x Cos TzA)) / (Sin AB x Sin TzA))
-------              127.5       140        45         140        45
        = 100 degres (direct Azimuth toward East)

Angle B = ArcCos ((Cos TzA - (Cos AB x Cos TzB)) / (Sin AB x Sin TzB))
-------                 45       140     127.5         140     127.5
        = 60 degres

        (for West Azimuth you must compute 360 - 60 = 300 degres)  

Example No 7 : Brazil with Mauritius
Brazil    is TzA = 6.5 Tz x 15 =  97.5
Mauritius is TzB = 7.5 Tz x 15 = 112.5
Time Zone is  TZ = 8   Tz x 15 = 120

Arc AB  = ArcCos ((Cos TzA x Cos TzB) + (Sin TzA x Sin TzB x Cos  TZ))
------                92.5     112.5        92.5     112.5       120
        = 116 degres length

        (then the distance is 116 x 1666 / 15 = about 13.000 Km)

Angle A = ArcCos ((Cos TzB - (Cos AB x Cos TzA)) / (Sin AB x Sin TzA))
-------              112.5       116      92.5         116      92.5
        = 115 degres (direct Azimuth toward East)

Angle B = ArcCos ((Cos TzA - (Cos AB x Cos TzB)) / (Sin AB x Sin TzB))
-------               92.5       114     112.5         114     112.5
        = 105 degres

        (for West Azimuth you must compute 360 - 105 = 255 degres)  

IMPORTANT

Gardez en memoire qu'au mieux, sur d'aussi grandes distances, les
meilleures antennes (yagi ou quad) ont un angle de visee de plus de
20 degres... c'est a dire plus d'un Tz... mais c'est sur que plus votre
calcul sera precis, surtout la precision de votre reperage sur la
carte des Tz, et mieux vous pourrez calculer et ajuster vos angles.

Cette presente methode de calcul avec les TZ a pour objectif d'etre
"relativement" simple, et aussi precise que vous le souhaiterez. C'est
a vous maintenant de bien tracer vos Tz sur votre propre carte du monde,
et aussi de savoir manipuler une bonne petite calculatrice scientifique.

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